一道高考试题的功能挖掘

| 教育教学案例研究

上传于2018年12月15日

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本文通过对2018年全国高考两道试题的挖掘与探究，通过一题多解，由于不同的解法中蕴含的数学核心素养有所不同，通过多角度的探索培养学生的数学核心素养；通过两道高考试题的层层递进的本质的探索，培养学生的数学抽象素养。在数学教学中，恰当地挖掘高考题的功能，能有效地促进学生核心素养的提高。

挖掘高考试题功能，培养学生核心素养[1]

内容提要：本文通过对2018年全国高考两道试题的挖掘与探究，通过一题多解，由于不同的解法中蕴含的数学核心素养有所不同，通过多角度的探索培养学生的数学核心素养；通过两道高考试题的层层递进的本质的探索，培养学生的数学抽象素养。在数学教学中，恰当地挖掘高考题的功能，能有效地促进学生核心素养的提高。

近年全国高考数学试题遵循“一核、四层、四翼”的命题原则，关注学生支撑终身发展和适应时代要求的能力，坚持能力立意，通过考查数学学科的必备知识、关键能力、学科素养和核心价值，体现考试内容的基础性、综合性、应用性和创新性，体现对“数学核心素养”及数学的科学价值、理性价值和育人要素的考查。近年高考数学试题引导中学数学教学应遵循教育规律、关注核心素养的培养。下面通过一道2018年全国高考试题的探究，培养学生的核心素养。

2018年全国高考数学 = 1 \* ROMAN I卷理科第19题为:

设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为 .

（1）当与轴垂直时，求直线的方程；

（2）设为坐标原点，证明： .

本题的第一问只需用数形结合的方法联立方程组,求出点的坐标(两种情况)然后根据直线的点斜式方程即可求出直线的方程,体现“直观想象”和“数学运算”两个核心素养，根据新的课程标准对核心素养水平的界定标准，皆属于水平一。

一一题多解渗透多种核心素养

本题的第2问,可引导学生用不同角度思考,每种方法蕴含着不同的数学思想，通过引导学生一题多解，培养学生不同的数学核心素养。

分析1：如图，∠OMA=∠OMB等价于直线 QUOTE 和 QUOTE 的斜率互为相反数， QUOTE .

于是可得到：

证法1：∠OMA=∠OMB等价于 QUOTE .

QUOTE ，

因为 QUOTE ，所以 QUOTE ，

因此 ∠OMA=∠OMB.

本解法将“角的相等”问题转化为“斜率之和为0”的计算问题，明确了运算方向。体现的是“数学运算”核心素养，属于水平三。，在具体的运算中，需要针对运算问题，设计运算程序，解决问题。运算过程不是很复杂。

分析2：∠OMA=∠OMB等价于点 QUOTE 到直线 QUOTE 和 QUOTE 的距离相等.于是可得到:

证法2：直线 QUOTE 为 QUOTE ，即 QUOTE ，故 QUOTE 到直线 QUOTE 的距离为 QUOTE ，同理， QUOTE 到直线 QUOTE 的距离等于 QUOTE .

∠OMA=∠OMB QUOTE

QUOTE ……①

QUOTE ……②

当 QUOTE 时，②式显然成立；当 QUOTE 时，②式等价于

这显然是成立的，因此∠OMA=∠OMB.

本解法将“角的相等问题”转化为“点到直线的距离”的问题，明确了运算方向。体现的是“数学运算”核心素养，属于水平三。但在具体的运算中，需要根据式子的结构选择运算方法，具有较高的运算能力。

分析3：从向量的角度，利用夹角公式来证明.

证法3：

QUOTE ……③

这就是①式，下同证法2.

本解法将“角的相等问题”转化为“角的余弦”的问题，明确了运算方向。体现的是“数学运算”核心素养，属于水平三。但在具体的运算中，需要根据式子的结构选择运算方法，具有较高的运算能力。

分析4：利用角平分线定理， QUOTE

这就是③式，下同证法3.

本解法将“角的相等问题”转化为“线段的比值相等”的问题，明确了运算方向。体现的是“数学运算”核心素养，属于水平三。但在具体的运算中，需要根据式子的结构选择运算方法，具有较高的运算能力。

分析5：由于 QUOTE ， QUOTE .

证法5

QUOTE

下面证明 QUOTE ，等价于证明

这就是①式，由证法1知， QUOTE .

又因为 QUOTE ，

QUOTE ，所以 QUOTE ， QUOTE 成立，因此 QUOTE .

本解法将“角的相等问题”转化为“向量”的问题，明确了运算方向。体现的是“数学运算”核心素养，属于水平三。但在具体的运算中，需要根据向量的运算法则，选择运算方法，具有较高的运算能力。

证法1到证法5，用解析几何的方法，从不同的视角来证明了 QUOTE .其核心思想就是分析几何关系，然后把几何关系转化为代数关系，利用解析几何证明.

解法6:发现点为准线与轴的交点, 由于涉及到椭圆的焦点和准线，故考虑椭圆的第二定义，利用平面几何知识来证.由椭圆的第二定义， QUOTE ，即 QUOTE ，

又 QUOTE ，

则 QUOTE ，故 QUOTE ，所以 QUOTE ， QUOTE ，因此 QUOTE .

解法6通过图形的特点发掘出对复杂的数学问题进行直观表达，反映数学问题的本质，形成解决问题的思路。体现的是“直观想象”的核心素养。属于水平三。

从几何图形中发现其中蕴含的这一数学本质，具有敏锐的洞察力，灵活的思维品质。

以上六种解法中，所体现的数学核心素养不同，主要是“数学运算”与“直观想象”素养。即便都是“数学运算”核心素养，其运算过程的繁简程度也不尽相同。本题中的解法六对学生的思维的深刻性要求高，从几何图形中发现一些与要证明的“角度相等”的联系，找出本质的体征。

二、深化命题 发展数学抽象素养

对于今年全国高考理科卷的解析几何19题第2问，通过解法6发现，点恰好是椭圆准线与轴的交点，于是可以得出如下结论：

命题1 过椭圆的右焦点的直线与交于两点，点 .其中为的焦半距，则直线、与轴成等角。

证明：当直线与轴重合时，结论显然成立；

当直线不与轴重合时，设直线的方程为，

联立椭圆方程得，

设，则，

设直线和的斜率分别为，

则

因此

将，代入上式得

故直线、与轴成等角。

这样引导学生将已知数学命题推广到更一般的情形。又能体现 “数学抽象”素养，属于水平二。

继续引导学生发现，更为一般的结论：

再探究发现：点和点的横坐标之积为，于是可将命题3进一步拓展得为：

命题2：设椭圆，过点的直线与交于两点，点 .且，设为坐标原点，则直线、与轴成等角。

证明：当直线与轴重合时，结论显然成立；

当直线不与轴重合时，设直线的方程为，

联立椭圆方程得，

设，则，

设直线和的斜率分别为，

则

因此，

由，得

又，代入上式得故直线、与轴成等角。

象这样，能够在得到的数学结论基础上形成新命题；能够针对具体问题运用或创造数学方法解决问题。是“数学抽象“更高层次的表现。属于水平三。

进一步，运用类比推理的方法，将椭圆这一特性进一步拓展到其他曲线。

命题3：设双曲线，过点的直线与交于两点，点 .

且，则直线与与轴成等角；

证明方法与命题5类似，略去。

这样，用归纳、类比的方法发现和提出数学命题，并能判断其是否正确的能力，体现“逻辑推理”核心素养，属于水平二。

三、多题探源 提升“数学抽象”水平

对比2 018年全国高考数学 = 1 \* ROMAN I卷文科第20题:

设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点．

（1）当与轴垂直时，求直线的方程；

（2）证明：．

利用类比的方法，可以引导学生得出下列结论：

命题4设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点．则直线、与轴成等角；

证明：显然，直线不与轴重合，设直线的方程为，

联立抛物线方程得，

设，，则，，

设直线和直线的斜率分别为，

则

而，，代入上式得

将，代入上式得，则；

故直线、与轴成等角。

若发现两点的横坐标之和为零，可得出以下一般结论：

命题5 设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点．则直线、与轴成等角；

证明：显然，直线不与轴重合，设直线的方程为，

联立抛物线方程得，设，

则，，设直线和直线的斜率分别为

则

而，，代入上式得

将，代入上式得，则，

故直线、与轴成等角。

进一步将以上几个命题再次抽象为：

命题6：设是圆锥曲线的一对“等角点”，过点的直线与交于两点,

则直线、与轴成等角；

若圆锥曲线为抛物线，则两“等角点”的坐标分别为，，其中，且。

若圆锥曲线为椭圆或双曲线，则两“等角点”的坐标分别为，，其中。

显然，2018年的两道解析几何试题就是命题6的具体化。近年全国高考常以上述结论为背景命题。如2015年全国高考理科数学试题第20题：

在直角坐标系中，曲线与直线交于两点，

（Ⅰ）当时，分别求在点和处的切线方程；

（Ⅱ）轴上是否存在点，使得当k变动时，总有？说明理由。

其中第2问，就是命题3的特例。

由此可见，2018年高考文科、理科的两道解析几何的源头相同，有着相同的根，只是呈现的形式不同。文科以抛物线为背景，运算过程较简洁；理科以椭圆为背景，运算过程比抛物线稍复杂。通过设置的位置和运算过程的繁简程度来实现文科与理科数学的区别。事实上，不仅是解析几何试题有此特点，其他内容如函数等也是按此思路来命题。

以上通过对两道同根同源的高考试题解法的多角度、多层次的探究以及对结论的逐步一般化的过程，不断抽象，能促进学生的数学核心素养的提高。在教学中，恰当的发挖掘高考试题的教育功能，结合学生实际进行拓展探索，能提高学生分析问题与解决问题能力。

参考文献：

教育部普通高中数学课程标准人民教育

[1]本文是广东省教育科研“十三五”规划课题“高中数学核心素养的培养及评价研究”的阶段性成果，课题批准号为2017YQJK023

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